Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，

（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求证：ABAC=ADAE；

（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．

（3）已知⊙O 的半径2，∠ACB=40°，求BA的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）上述结论仍成立，理由见解析；（3）AB≈2.6．

【解析】（1）证明：连接CE，

∵AB=AC，

∴ ，

∴∠AEC=∠ACD；

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，

∴，即AC2=ADAE；

又∵AB=AC，

∴ABAC=ADAE．

（2）答：上述结论仍成立．

证明：连接BE，

∵AB=AC，

∴，

∴∠AEB=∠ABD；

又∵∠EAB=∠DAB

∴△AEB∽△ABD，

∴，即AB2=ADAE．

又∵AB=AC，

∴ABAC=ADAE．

（3）解：过A作⊙O的直径AM，连接BM.

∴∠AMB=90°，

∵∠AMB=∠ACB=40°，

在Rt△ABD中，AM=4，

∵sin∠AMB =0.64，

∴AB=4sin40°=4×0.64≈2.6．