Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4

（2）

解：如图1，

作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，

由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①，

∴D（0，﹣4），

∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，

∴联立①②解得， （舍）或 ，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∴直线AC解析式为y=﹣x+4，

∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直线BF解析式为y=x+1，

设点F（m，m+1），

∴G（ ， ），

∵点G在直线AC上，

∴﹣ ，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直线DF解析式为y= x﹣4，

∵直线AC解析式为y=﹣x+4，

∴直线DF和直线AC的交点E（ ， ）

（3）

解：∵BD= ，

由（2）有，点B到线段AC的距离为BG= BF= ×5 = ＞BD，

∴∠BED不可能是直角，

∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），

∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，

∵△BDE为直角三角形，

∴①∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于B，

∴直线BE解析式为y= x+ ，

∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，

∴E（3，1），

②∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于D，

∴直线BE的解析式为y= x﹣4，

∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上，

∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（ ，﹣ ），

∴E（ ，﹣ ），

即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（ ，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．