Question

【题目】如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，其中点B的坐标为（1，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】﹣1＜k＜

【解析】分析：根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．

详解：由图可知，∠AOB=45°，

∴直线OA的解析式为y=x，

联立，

消掉y得：x2-x+k=0，

△=b2-4ac=（-1）2-4×1×k=0，

即k=时，抛物线与OA有一个交点，

∵点B的坐标为（1，0），

∴OA=1，

∴点A的坐标为（，），

∴交点在线段AO上；

当抛物线经过点B（1，0）时，1+k=0，

解得k=-1，

∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是-1＜k＜，

故答案为：-1＜k＜．