Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．

（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；

（2）若AC=2，求四边形DECF面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）1

【解析】试题分析：

（1）如图，连接CD，由已知条件易得：∠A=∠DCF=45°，CD=AD，结合AE=CF即可证得△ADE≌△CFD，从而可得DE=DF，∠ADE=∠CDF，结合∠ADE+∠EDC=90°即可得到∠EDF=90°，从而可得DE⊥DF；

（2）由（1）中所得△ADE≌△CFD可得四边形DECF的面积=△ADC的面积，而△ADC的面积=△ABC面积的一半，结合△ABC是等腰直角三角形及AC=2即可求出所求面积了.

试题解析：

（1）如图，连接CD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，

∵D为BC中点，

∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．

∴∠DCF=45°，

在△ADE和△CFD中， ，

∴△ADE≌△CFD（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

（2）∵△ADE≌△CFD，

∴S△AED=S△CFD，

∴S四边形CEDF=S△ADC，

∵D是AB的中点，

∴S△ACD=S△ACB=××2×2=1．

∴S四边形CEDF=1．