Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+2x+m．

（1）如果抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B，求抛物线的解析式及点B、C的坐标；

（2）如图，直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P，求直线AB的表达式和点P的坐标．

（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S△ABC=S△ACD，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3）；（2）P（1，2）；（3）D的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．

【解析】

试题分析：（1）代入A点的坐标求得m的值即可求得解析式，分别令x=0和y=0，列出方程，解方程即可求得B、C的坐标；

（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，求得抛物线的对称轴x=1，把x=1代入直线的解析式即可求得P的坐标；

（3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D的纵坐标为±3，代入抛物线的解析式即可求得．

解：（1）∵抛物线过点A（3，0），

∴0=﹣9+6+m，

解得m=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0，则，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

∴C（﹣1，0），

令x=0，得y=3，

∴B（0，3）；

（2）∵A（3，0），B（0，3），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+3，

∵抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴对称轴x=1，

把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）；

（3）根据题意得D的纵坐标为±3，

把y=3代入y=﹣x2+2x+3得，﹣x2+2x+3=3，

解得x=0或2，

把y=﹣3代入y=﹣x2+2x+3得，﹣x2+2x+3=﹣3，

解得x=1，

∴D的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．