Question

【题目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），请你直接写出BM、DN和MN的数量关系：__________．

（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）BM+DN=MN．（2）成立,理由见解析; （3）DN﹣BM=MN．

【解析】分析：

（1）如图4，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，则由已知可得点C、B、F三点共线，结合旋转的性质可得MF=BM+BF=BM+DN，再证△AMN≌△AMF即可得到所求结论；

（2）如图5，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，与（1）同理可得MN=DN+BM；

（3）如图6，在DC是截取DE=BM，连接AE，先证△ADE≌△ABM，再证△AMN≌△AEN即可证得DN-BM=MN.

详解：

（1）BM+DN=MN．　理由如下：

如图4，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，则由题意可得：点C、B、F三点共线，

∴由旋转的性质可得：BF=DN，AF=AN，∠BAF=∠DAN，

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAF+∠BAM=45°=∠MAF=∠MAN，

又∵AM=AM，

∴△AMF≌△AMN，

∴MF=MN，

又∵MF=BM+BF，BF=DN，

∴MN=BM+DN；

（2）成立，理由如下：

如图5，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可得E、B、M三点共线．

∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，AE=AN，BE=DN，

又∵∠NAM=45°，

∴∠EAM=∠NAM，

∴在△AEM与△ANM中， ，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（3）DN-BM=MN．理由如下：

如图6，在DC上截取DE=BM，连接AE，

∵∠ADE=∠ABM=90°，AD=AB，

∴△ADE≌△ABM，

∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，

∵∠BAM+∠BAN=∠MAN=45°，

∴∠DAE+∠BAN=45°，

∴∠EAN=90°-∠DAE-∠BAN=45°=∠MAN，

又∵AN=AN，

∴△EAN≌△MAN，

∴EN=MN，

又∵DN-DE=EN，

∴DN-BM=MN.