Question

【题目】如图所示，△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，作直线DF⊥AC交AC于点F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF四⊙O的切线；

（2）若BC=6，AB=4，求DE的长．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、6

【解析】

试题分析：(1)、连结OD，如图，通过证明OD∥AC，加上DF⊥AC，于是可得到DF⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DF为⊙O的切线；，(2)、连结CD，作DH⊥BC于H，如图，先利用圆周角定理得到∠BDC=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=AD=AB=2，在Rt△BDC中可利用勾股定理计算出CD=2，再利用面积法克计算出DH=2，接着根据勾股定理计算出OH=1，然后证明Rt△ODH∽Rt△OED，利用相似比可计算出DE．

试题解析：(1)、连结OD，如图，∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠A，

∴OD∥AC，而DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF为⊙O的切线；

(2)、连结CD，作DH⊥BC于H，如图，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，而CA=CB，∴BD=AD=AB=2，

在Rt△BDC中，CD==2，∵DHBC=DECD，∴DH==2，

在Rt△ODH中，OH==1，∵∠DOH=∠EOD，∴Rt△ODH∽Rt△OED，∴=，即=，

∴DE=6．