Question

【题目】△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD⊥x轴，垂足为点D．点C坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，2），求A点的坐标．

（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，求证：BD=2AE．

（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论：① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并求出定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCO=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠BCO=∠CAD，

在△ACD和△CBO中， ，

∴△ACD≌△CBO，

∴AD=CO=1，DC=OB=2，

∴OD=OC+CD=3，

∴A（﹣3，1）

（2）

解：如图，

延长AE、BC交于点F，

∵y轴平分∠ABC，AE⊥y轴，

∴AE=EF，

∴AF=2AE，

∵AE⊥x轴，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDC，

∴∠EAD+∠BDC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BDC+∠CBD=90°，

∴∠DAE=∠CBD，

在△BCD和△ACF中， ，

∴△BCD≌△ACF，

∴BD=AF，

∵AF=2AE，

∴BD=2AE

（3）

解：① 为定值，理由：

如图3，

作AE⊥OC于E，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCB+∠OCA=90°，

∵∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

在△OBC和△ECA中 ．

∴△OBC≌△ECA，

∴OB=CE，

∵AF=OE

∴① = = =1是定值，

② = = = + = +1，而2AF与AB的关系不知，

∴②不是定值．

即：① 为定值

【解析】（1）先判断出，∠BCO=∠CAD，从而得出△ACD≌△CBO，求出AD=CO=1，DC=OB=2即可；（2）先利用等腰三角形的判定得出AF=2AE，同（1）的方法判断出△BCD≌△ACF，得出BD=AF即可；（3）作AE⊥OC，同（1）方法判断出△OBC≌△ECA得出OB=CE，最后结合图形求出①个结论是定值．
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）即可以解答此题．