Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．

证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，

∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，

∵AE平分∠FAC，

∴∠FAE＝∠EAC，

∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，

∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥CD，

又∵DE∥AB，

∴四边形AEDB是平行四边形，

∴AE∥BD，AE＝BD，

∵AD⊥BC，AB＝AC，

∴BD＝DC，

∴AE∥DC，AE＝DC，

∴四边形ADCE是平行四边形，

又∵∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形．