Question

【题目】已知□ABCD中，直线m绕点A旋转，直线m不经过B、C、D点，过B、C、D分别作BE⊥m于E， CF⊥m于F， DG⊥m于G．

（1）当直线m旋转到如图1位置时，线段BE、CF、DG之间的数量关系是 _；

（2）当直线m旋转到如图2位置时，线段BE、CF、DG之间的数量关系是 _；

（3）当直线m旋转到如图3的位置时，线段BE、CF、DG之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：

（1）如图1，过C作CM⊥DG，交DG的延长线于点M，

∵DM⊥CM，CF⊥AF，CM⊥DG，

∴∠DMC=∠CFG=∠AEB=90°，

∴四边形GFCM为矩形，

∴FG∥CM，FC=GM，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD=AB，CD∥AB，

∴∠DOG=∠BAE=∠DCM，

在△CDM和△ABE中

∴△CDM≌△ABE（AAS），

∴DM=BE，

∴BE=DG+GM=CF+DG，

故答案为：BE=CF+DG；

（2）如图2，过D作DN⊥CF，交CF于点N，延长CD交AF于点P，

∵DG⊥AF，CF⊥AF，

∴四边形DGFN为矩形，

∴ND∥AF，且DG=NF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，且AB∥CD，

∴∠CDN=∠DPG=∠BAE，

在△CDN和△BAE中

∴△CDN≌△BAE（AAS），

∴CN=BE，

∴CF=CN+DF=BE+DG，

故答案为：CF=BE+DG；

（3）猜想：DG=BE+CF；

证明：如图3，过C作CH⊥DG于H，

又∵CF⊥m，DG⊥m，

∴四边形CFGH是矩形，

∴CF=HG，

∵DG⊥m，BE⊥m，

∴∠DGE=∠BEG=90°，

∴DG∥BE，

∴∠ABE=∠AMG

∵□ABCD，

∴AD∥BC，CD=AB，

∴∠CDH=∠AMG，

∴∠CDH=∠ABE，

在△CDH和△ABE中

∴△CDH≌△ABE（AAS），

∴DH=BE，

∴DG=DH+HG=BE+CF，

∴DG=BE+CF．