Question

【题目】已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　 　．

（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）详见解析；（3）2∠BFD+∠BED=360°．

【解析】试题分析：（1）点E作EF∥AB，根据平行线的性质易证得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，则可得∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）∠BFD=∠BED，已知BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，根据角平分线的性质可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），由（1）的结论可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），∠BED=∠ABE+∠CDE，所以∠BFD=∠BED；（3过点E作EG∥CD，根据平行公理可得AB∥CD∥EG，根据平行线的性质易证∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再由（1）的方法可得∠BFD=∠ABF+∠CDF；已知BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，根据角平分线的性质可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠BFD=（∠ABE+∠CDE），即2∠BFD+∠BED=360°．

试题解析：

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

理由：如图1，作EF∥AB，

∵直线AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，

∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，

即∠ABE+∠CDE=∠BED．

故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=∠BED．

理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），

由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）

∠BED=∠ABE+∠CDE，

∴∠BFD=∠BED．

（3）2∠BFD+∠BED=360°．

理由：如图3，过点E作EG∥CD，

∵AB∥CD，EG∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，

∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，

由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，

又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），

∴2∠BFD+∠BED=360°．

故答案为：2∠BFD+∠BED=360°．