Question

【题目】如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；

（2）过定点的直线与二次函数图象相交于两点．

①若，求的值；

②证明：无论为何值，恒为直角三角形；

③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

Answer 1

【答案】（1）,;（2）①；②见解析；③．

【解析】

（1）求出点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；

（2）①S△PMN=PQ×（x2-x1），则x2-x1=4，即可求解；②k1k2==-1，即可求解；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，即可求解．

（1），则，

即点的坐标分别为、、，

则二次函数表达式为：，

即：，解得：，

故函数表达式为：，

点；

（2）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：

，

设点的坐标为、，

则，

则：，

同理：，

①，当时，，即点，

，则，

，

解得：；

②点的坐标为、、点，

则直线表达式中的值为：，直线表达式中的值为：，

为： ，

故，

即：恒为直角三角形；

③取的中点，则点是外接圆圆心，

设点坐标为，

则，

，

整理得：，

即：该抛物线的表达式为：．