Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，且AB=2cm，点P为弧AB上一动点（不与A，B重合）， = ，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点C．
（1）试证明AB∥CD；
（2）填空： ①当BP=1cm时，PD=cm；
②当BP=cm时，四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∵ = ，

∴∠AOD=∠BOD=90°，

∴OD⊥AB，

∴AB∥CD．

（2） + ；
【解析】（2）解：①作DE⊥AP于E，DF⊥PC于F．

∵ = ，

∴∠APD=∠DPB，

∴DE=DF，

∵AB是直径，

∴∠APB=90°，

∴∠EPD=∠FPD=45°，易知四边形PEDF是正方形，

∵AD=BD，DE=DF，

∴Rt△DEA≌Rt△DFB，

∴AE=BF，

在Rt△PAB中，∵AB=2cm，PB=1cm，

∴PA= = ，

∴PA+PB=PE+AE+PF﹣BF=2PE=1+ ，

∴PD= PE=（ + ）cm．

所以答案是 + ．②当P是 中点时，DC=2OB=AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

易知BD= OB= cm，

所以答案是 ．

【考点精析】关于本题考查的平行四边形的判定和切线的性质定理，需要了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．