Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点．

（1）填空：点的坐标为_________，线段平移到扫过的面积为_______；

（2）若点是轴上的动点，连接．

①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；

②当将四边形的面积分成两部分时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），20；（2）①；理由见解析；②或．

【解析】

（1）由平移的性质得出点C坐标，AC＝5，再求出AB，即可得出结论；

（2）①先求出PF＝2，再用三角形的面积公式得出S△PEC＝CE，S△ECD＝2CE，即可得出结论；

②分DP交线段AC和交AB两种情况，利用面积之差求出△PCE和△PBE，最后用三角形面积公式即可得出结论．

（1）∵点A（2，4），将AB向下平移5个单位得线段CD，

∴C（2，45），

即：C（2，1），

由平移得，AC＝5，四边形ABDC是矩形，

∵A（2，4），B（6，4），

∴AB＝62＝4，

∴S四边形ABDC＝ABAC＝4×5＝20，

即：线段AB平移到CD扫过的面积为20，

故答案为：（2，1），20；

（2）①过P点作PF⊥AC于F，

由平移知，AC∥y轴，

∵A（2，4），PF=2

由平移知，CD＝AB＝4，

∴

又∵

∴

②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，

连结PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，1），

∴OM＝1，

连接AD，则S△ACD＝S矩形ABDC＝10，

∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，

∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，

由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4

∴/span>S△PCD＝S△PEC＋S△ECD＝4＋8＝12，

∵S△PCD＝CDPM＝×4PM＝12，

∴PM＝6，

∴PO＝PMOM＝61＝5，

∴P（0，5）．

（ⅱ）如图3，当PD交AB于点F，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，

连结PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），

∴OG＝4，

连接AD，则S△ABD＝S矩形ABDC＝10，

∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，

∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，

∵S△BDE＝BDBE＝×5BE＝8，

∴BE＝

过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，

∵B（6，4），

∴PH＝6

S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15，

∴S△PBE＝S△PDBS△BDE＝158＝7，

∵S△PBE＝BEPG＝×PG＝7，

∴PG＝，

∴PO＝PG＋OG＝＋4＝，

∴P（0，），

综上所述，或．