Question

【题目】某生物科技发展公司投资2000万元，研制出一种绿色保健食品．已知该产品的成本为40元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于180元/件．经市场调查知，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的关系满足下表所示的规律．

销售单价x（元/件）	…	60	65	70	80	85	…
年销售量y（万件）	…	140	135	130	120	115	…

（1）y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围。
（2）经测算：年销售量不低于90万件时，每件产品成本降低2元，设销售该产品年获利润为W（万元）（W=年销售额﹣成本﹣投资），求出年销售量低于90万件和不低于90万件时，W与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当销售单位定为多少时，公司销售这种产品年获利润最大？最大利润为多少万元？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：

y=﹣x+200（40≤x≤180）

（2）解：当y＜90，即﹣x+200＜90时，x＞110

W=（x﹣40）（﹣x+200）﹣2000

=﹣x2+240x﹣10000

当y≥90，即﹣x+200≥90时，x≤110

W=（x﹣38）（﹣x+200）﹣2000

=﹣x2+238x﹣9600

∴

（3）解：当110＜x≤180时，由W=﹣x2+240x﹣10000=﹣（x﹣120）2+4400得W最大=4400

当38≤x≤110时，W=﹣x2+238x﹣9600，

∴该函数图象是抛物线的一部分，该抛物线开口向下，它的对称轴是直线x=119，在对称轴左侧W随x的增大而增大．

∴当x=110，W最大=（110﹣38）×（﹣110+200）﹣2000=72×90﹣2000=4480

答：当销售单位定为110元时，年获利润最大，最大利润为4480万元．

【解析】（1）求一次函数解析式可以观察表格直接写出，由60﹣65﹣70，自变量每次增加5，函数值每次减少5；也可以设一次函数解析式得出．（2）市场营销问题，根据题目所给等量关系表示年利润，根据二次函数的性质及自变量取值范围求最大利润．