Question

【题目】如图，在△ABC中，点D在△ABC的内部且DB=DC，点E，F在△ABC的外部，FB=FA，EA=EC，∠FBA=∠DBC=∠ECA．

（1）①填空：△ACE∽∽；
（2）求证：△CDE∽△CBA；
（3）求证：△FBD≌△EDC；
（4）若点D在∠BAC的平分线上，判断四边形AFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）△ABF；△BCD
（2）

解：由①知，△ACE∽△BCD，

∴ ，即 ，

∵∠ECA=∠DCB，

∴∠ECD=∠ACB，

∴△CDE∽△CBA

（3）

证明：∵△CDE∽△CBA，

∴∠ABC=∠EDC，

∵∠ABC=∠FBD，

∴∠EDC=∠FBD，

同理△BFD∽△BAC，

∴∠FDB=∠ACB，

∵∠ACB=∠ECD，

∴∠FDB=∠ACB，

在△FBD与△EDC中 ，

∴△FBD≌△EDC；

（4）

解：四边形AFDE是菱形，

理由：∵△FBD≌△EDC，

∴FB=DE，DF=CE，

∵FB=FA，EA=EC，

∴FD=AE，FA=DE，

∴四边形AFDE是平行四边形，

连接AD，则AD平分∠BAC，

即∠BAD=∠CAD，

∵∠BAF=∠CAE，

∴∠DAF=∠DAE，

∵AF∥DE，

∴∠DAF=∠ADE，

∴∠EAD=∠ADE，

∴EA=ED，

∴AFDE是菱形．

【解析】解：（1）∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵FB=FA，EA=EC，
∴∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，
∵∠FBA=∠DBC=∠ECA，
∴∠FAB=∠BCD=∠EAC，
∴△ACE∽△ABF∽△BCD；
故答案为：△ABF，△BCD；
（1）根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB，∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，等量代换得到∠FAB=∠BCD=∠EAC，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到 ，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（3）根据相似三角形的性质得到∠EDC=∠FBD，∠FDB=∠ACB等量代换得到∠FDB=∠ACB，根据全等三角形的判定即可得到结论；（4）根据全等三角形的性质得到FB=DE，DF=CE，等量代换得到FD=AE，FA=DE，推出四边形AFDE是平行四边形，连接AD，于是得到AD平分∠BAC，根据菱形的判定定理即可得到结论．