Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．

（1）当t=2时，CD=　 ，AD=　 　；（请直接写出答案）

（2）当t=　 　时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）

（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．

试题解析：(1)t=2时，CD=2×2=4，

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，

∴AC==25，

AD=ACCD=254=21；

(2)①∠CDB=90°时,S△ABC=ACBD=ABBC，

即×25BD=×20×15，

解得BD=12，

所以CD==9，

t=9÷2=4.5(秒)；

②∠CBD=90°时，点D和点A重合，

t=25÷2=12.5(秒)，

综上所述，t=4.5或12.5秒；

故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；

（3）①CD=BD时，如图1，

过点D作DE⊥BC于E，

则CE=BE，

CD=AD=AC=×25=12.5，（或利用余角的性质说明CD=BD=AD）

t=12.5÷2=6.25；

②CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；

③BD=BC时，如图2，

过点B作BF⊥AC于F，

则CF=9，

CD=2CF=9×2=18，

t=18÷2=9，

综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．