Question

【题目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF，CF．

（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC= ，求此时线段CF的长（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，

∴DF= BE，CF= BE，

∴DF=CF．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°

∵BF=DF，

∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，

∴∠DFE=2∠DBF，

同理得：∠CFE=2∠CBF，

∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，

∴DF=CF，且DF⊥CF

（2）解：（1）中的结论仍然成立．

证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．

∵∠ADE=∠ACB=90°，

∴DE∥BC．

∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．

∵F为BE中点，

∴EF=BF．

∴△DEF≌△GBF．

∴DE=GB，DF=GF．

∵AD=DE，

∴AD=GB，

∵AC=BC，

∴AC﹣AD=BC﹣GB，

∴DC=GC．

∵∠ACB=90°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∵DF=GF．

∴DF=CF，DF⊥CF

（3）解：延长DF交BA于点H，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE．

∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中点，

∴EF=BF，

∴△DEF≌△HBF，

∴ED=HB，

∵AC= ，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB=4，

∵AD=1，

∴ED=BH=1，

∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得

DH= ，

∴DF= ，

∴CF=

∴线段CF的长为 ．

【解析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．