Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交A（﹣1，0）B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）若点M是线段AC上的点（不与A，C重合），过M作MF∥y轴交抛物线于F，交x轴于点H，设点M的横坐标为m，连接FA，FC，是否存在m，使△AFC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=x2+bx﹣c，可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：把x=2代入抛物线解析式可得y=22﹣2×2﹣3=﹣3，

∴C（2，﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+s，把A、C坐标代入可得， ，解得 ，

∴直线AC解析式为y=﹣x﹣1

（3）

解：存在m，使△AFC的面积最大．

理由如下：

∵点M在直线AC上，

∴M（m，﹣m﹣1），

∵点F在抛物线上，

∴F（m，m2﹣2m﹣3），

∵点M是线段AC上的点，

∴MF=（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2，

∵A（﹣1，0），C（2，﹣3），

∴S△ACF= MF[2﹣（﹣1）]= MF= （﹣m2+m+2）=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当m= 时，△AFC的面积最大，最大为值为

【解析】（1）把A、B坐标代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式；（2）由C点横坐标可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（3）用m可出M的坐标，则可表示出F的坐标，从而可表示出MF的长，表示出△AFC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的m．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的图象和性质的相关知识，掌握一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．