Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（-4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．

（1）求直线AB和抛物线的解析式．

（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．

（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4．y=-x2+4．（2）P（-2，3）．（3）N的坐标为（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2）．

【解析】

试题分析：（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（-4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；

（2）过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P（a， - +4），Q（a，a+4）．则PQ=--a，然后依据三角形的面积公式列出△ABP的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；

（3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可．

试题解析：（1）设直线的解析式为y=kx+b．

∵将A（-4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，

∴直线AB的解析式为y=x+4．

设抛物线的解析式为y=ax2+4．

∵将A（-4，0）代入得：16a+4=0，解得a=-，

∴抛物线的解析式为y=-x2+4．

（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．

设点P的坐标为（a，- +4），则点Q的坐标为（a，a+4）．则PQ=-+4-（a+4）=--a．

∵S△ABP的面积=PQ（xB-xA）=×4×（--a）=-a2-2a=-（a+2）2+2，

∴当a=-2时△ABP的面积最大，此时P（-2，3）．

（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．

∵MN∥OB，OB⊥OC，

∴MN⊥OC．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠BA0=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．

∴点N的坐标为（2，2）．

如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠OBA=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．

∴点N的坐标为（-2，-2）．

如图4所示：连接MN交y轴与点C．

∵四边形BNOM为菱形，OB=4，

∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．

∴点的纵坐标为2．

∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=-2，

∴点M的坐标为（-2，2）．

∴点N的坐标为（2，2）．

如图5所示：

∵四边形OBNM为菱形，

∴∠NBM=∠ABO=45°．

∴四边形OBNM为正方形．

∴点N的坐标为（-4，4）．

综上所述点N的坐标为（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2）．