Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上，且DE=DA，AE与BC相交于点F．
（1）求证：FD=DC；
（2）若AE=8，DE=5，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠2+∠BAD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠2，
∵DA=DE，
∴∠1=∠E，
而∠B=∠E，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=AC，
而AD⊥CF，
∴FD=DC；
（2）解：作DH⊥AE于H，如图，
∵DA=DE=5，
∴AH=EH=AE=4，
在Rt△DEH中，DH= =3，
∵∠B=∠E，∠ADB=∠DHE=90°，
∴△BDA∽△EHD，
∴=，即=，
∴AB=，
∴⊙O的半径为．

【解析】（1）由切线的性质得BA⊥AC，则∠2+∠BAD=90°，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，所以∠B=∠2，接着由DA=DE得到∠1=∠E，由圆周角定理得∠B=∠E，所以∠1=∠2，可判断AF=AC，根据等腰三角形的性质得FD=DC；
（2）作DH⊥AE于H，如图，根据等腰三角形的性质得AH=EH=AE=4，再根据勾股定理可计算出DH=3，然后证明△BDA∽△EHD，利用相似比可计算出AB= ， 从而可得⊙O的半径．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．