Question

【题目】如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G落在点A、E之间，连接EF、CF．则以下四个结论：①CG⊥AE；②△CDF≌△EBC；③∠CDF =∠EAF；④△ECF是等边三角形．其中一定正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

试题分析：在ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB， ∵△ABE、△ADF都是等边三角形，

∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°， ∴DF=BC，CD=BC， ∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，

∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC， ∴∠CDF=∠EBC， ∴△CDF≌△EBC（SAS），故②正确；

在ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC， ∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，

∴∠CDF=∠EAF，故③正确；

同理可证△CDF≌△EAF，∴EF=CF， ∵△CDF≌△EBC， ∴CE=CF， ∴EC=CF=EF，

∴△ECF是等边三角形，故④正确；

当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABG=30°， ∴∠ABC=180°-30°=150°，

∵∠ABC=150°无法求出，故①错误；