Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标；

（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2，顶点D的坐标是（，﹣）；

（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；

（3）点M的坐标为(，)；

（4）△PBC面积的最大值是4.

【解析】试题分析：（1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x=对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA=MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x=交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．（4）过点P作y轴的平行线交BC于F．利用待定系数法求得直线BC的解析式，可求得点F的坐标，设P点的横坐标为m，可得点P的纵坐标，继而可得线段PF的长，然后利用面积和即S△PBC=S△CPF+S△BPF=PF×BO，即可求出．

试题解析：（1）把A（﹣1，0）代入得到：0=×（﹣1）2﹣b﹣2，

解得b=﹣，

则该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

又∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，

∴顶点D的坐标是（，﹣）；

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．则C（0，﹣2）．

又∵y=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣4），

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴AC=，BC=2，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵顶点D的坐标为（， ），

∴抛物线的对称轴为x=，

∵抛物线y=x2+bx2与x轴交于A，B两点，

∴点A与点B关于对称轴x=对称，

∵A(1，0).

∴点B的坐标为(4，0)，

当x=0时,y=x2x2=2，

则点C的坐标为(0，2)，

则BC与直线x=交点即为M点，如图，

根据轴对称性，可得MA=MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小。

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把C(0，2)，B(4，0)代入，可得，

解得： ，

∴y=x2，

当x=时，y=×2=54，

∴点M的坐标为(，).

（4）如答图2，过点P作y轴的平行线交BC于F．

设直线BC的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．

把B（4，0）代入，得

0=4k﹣2，

解得k=．

故直线BC的解析式为：y=x﹣2．

故设P（m， m2﹣m﹣2），则F（m， m﹣2），

∴S△PBC=PFOB=×（m﹣2﹣m2+m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，

即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，

∴当m=2时，△PBC面积的最大值是4．