Question

【题目】已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BM=ME=；（3）证明见解析.

【解析】

（1）如图1，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可.

（2）如图2，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线.

（3）如图3，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME.

（1）如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD.

∴点B为线段AD的中点.

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线.

∴BM∥CF.

（2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点.

∴BM=DF.

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a.

∴点E为FG中点，又点M为AF中点.

∴ME=AG.

∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a.

∴BM=ME=.

（3）如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD.

∴点B为AD中点.

又点M为AF中点，∴BM=DF.

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG.

∴点E为FG中点.

又点M为AF中点，∴ME=AG.

在△ACG与△DCF中，∵，

∴△ACG≌△DCF（SAS）.

∴DF=AG，∴BM=ME.