Question

【题目】探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．

求证：∠ANC＝∠ABE．

应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝　 　．

Answer 1

【答案】证明见解析，3

【解析】

探究：根据正方形性质得出AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，求出∠NAC=∠BAE，证出△ANC≌△ABE即可；

应用：先证明△BCP为直角三角形，然后，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．

证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，

∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，

∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，

∴∠NAC＝∠BAE，

在△ANC和△ABE中，AN=AB，∠NAC=∠BAE，AC=AE

∴△ANC≌△ABE（SAS），

∴∠ANC＝∠ABE．

应用：如图所示，

∵四边形NABM是正方形，

∴∠NAB＝90°，

∴∠ANC+∠AON＝90°，

∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，

∴∠ABP+∠BOP＝90°，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，

∵Q为BC中点，BC＝6，

∴PQ＝BC＝3，