Question

【题目】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，

∴四边形AEPQ为平行四边形，

∴∠BAD=∠EPA，

∵AB=AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∴∠CAD=∠EPA，

∴EA=EP，

∴四边形AEPQ为菱形．

（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPQ= S四边形EFBQ

∵四边形AEPQ为菱形，

∴AD⊥EQ，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴EQ∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四边形EFBQ为平行四边形．

作EN⊥AB于N，如图所示：

则S菱形AEPQ=EPEN= EFEN= S四边形EFBQ．

【解析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ=EPh，S平行四边形EFBQ=EFh，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP= EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ= S四边形EFBQ ．