Question

【题目】平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y＝x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为2，则a的值为_____．

Answer 1

【答案】2+或2﹣

【解析】

设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC，根据点P的坐标可得⊙P的半径PC为2，由于满足条件的点P可能在直线y=x的上方，也可能在直线y=x的下方，因此需分两种情况讨论．当点P在直线y=x上方时，如图1，连接CP并延长交直线y=x于点E，则有CE=OC．过点P作PD⊥AB于D，由垂径定理可求出AD，在Rt△ADP中，运用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，运用三角函数可求出PE，就可求出a的值；当点P在直线y=x下方时，如图2，连接PC，过点P作PD⊥AB于D，过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=．易证四边形PCOM是矩形，从而有OM=PC=2，OC=PM，进而可以求出a的值，问题得以解决．

设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．

∵点P的坐标为（2，a），∴PC＝2．

①若点P在直线y＝x上方，如图1，

连接CP并延长交直线y＝x于点E，则有CE＝OC．

∵CE⊥OC，CE＝OC，

∴∠COE＝∠CEO＝45°．

过点P作PD⊥AB于D，

由垂径定理可得：AD＝BD＝AB＝×2＝．

在Rt△ADP中，

PD＝＝1．

在Rt△PDE中，

sin∠PED＝，

解得：PE＝．

∴OC＝CE＝CP+PE＝2+．

∴a＝2+．

②若点P在直线y＝x下方，如图2，

连接PC，过点P作PD⊥AB于D，

过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，

同理可得：OM＝MN，PD＝1，PN＝．

∵∠PCO＝∠COM＝∠PMO＝90°，

∴四边形PCOM是矩形．

∴OM＝PC＝2，OC＝PM．

∴OC＝PM＝MN﹣PN＝OM﹣PN＝2﹣．

∴a＝2﹣．

故答案为：2+或2﹣．