Question

【题目】阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在中，，平分，，，求的长．

小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图2）．

请回答：（1）是　 　三角形．

（2）的长为　 　．

参考小聪思考问题的方法，解决问题：

（3）如图3，已知中，，平分，．求的长．

Answer 1

【答案】（1）等腰；（2）5.8；（3）4.3.

【解析】

（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD=DE，∠A=∠DEC，由于∠A=2∠B，推出∠DEC=2∠B，等量代换得到∠B=∠EDB，得到△BDE是等腰三角形；

（2）由△BDE是等腰三角形可得BE=DE=AD=2.2,结合EC=AC可得结论；
（3）在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．

（1） 是等腰三角形，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）∵是等腰三角形，

∴BE=DE，

∵，

∴BC=BE+EC=2.2+3.6=5.8

故的长为5.8，

（3）∵中，，

∴，

∵平分，

∴，

在边上取点，使，连接，

则，

∴，

∴，

∴，

在边上取点，使，连接，

则，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．