Question

【题目】如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．

（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；

（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=AP且AB⊥AP，（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ

【解析】分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；

（2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可．

详解：（1）AB=AP且AB⊥AP。理由如下：

∵AC⊥BC且AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠ACB）=45°．

又∵△ABC与△EFP全等，同理可证∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，∴AB=AP且AB⊥AP．

（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，理由如下：

延长BQ交AP于G，由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，

∴∠PQC=45°=∠QPC，∴CQ=CP．

∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，∴在△BCQ和△ACP中，

，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC．

∵∠ACB=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°．

∵∠CQB=∠AQG，∴∠AQG+∠PAC=90°，

∴∠AGQ=180°﹣90°=90°，∴AP⊥BQ．