Question

【题目】（1）如图 1，O 是等边三角形 ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，且 OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD．

填空：①旋转角为 °；②线段 OD 的长是 ；③∠BDC= °；

（2）如图 2，O 是△ABC 内一点，且∠ABC＝90°，BA=BC． 连接 OA，OB，OC，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD．当 OA，OB，OC 满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①60；②4;③150;(2) ,理由见解析

【解析】

（1）根据△ABC是等边三角形可得旋转角为60°，根据旋转可得CD= OA＝3,△B OD是等边三角形，即可求出OD 的长，再根据勾股定理逆定理求出∠ODC＝90°即可求解；

（2）先根据△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，可得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO，故得到△OBD是等腰直角三角形，DO＝，再由勾股定理得到△OCD是直角三角形，∠ODC＝90°，即OA2+2OB2=OC2，再进行等量替换即可求解．

（1）①∵△ABC是等边三角形

∴BA=BC，∠ABC＝60°

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC＝60°

∴旋转角为60°，

②∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，

∴BO= BD

∵∠OBD=60°

∴△B OD是等边三角形，

∴OD = OB=4，

③∵△B OD是等边三角形，

∴∠BDO=60°

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，

∴CD= AO=3

在△OCD中，CD=3,OD=4,OC=5

∴CD2+OD2=OC2

∴△OCD是直角三角形，∠ODC=90°

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°

故答案为：①60；②4;③150；

（2）当OA2+2OB2=OC2时，∠BDC＝135°，

理由如下：

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO

∴△OBD是等腰直角三角形，且∠BDO＝45°，

∴DO＝

∵CD2+OD2=OC2时，△OCD是直角三角形，∠ODC＝90°，

即当OA2+2OB2=OC2时，∠ODC＝90°，∠BDC＝135°．