Question

【题目】根据要求回答问题：
（1）【提出问题】
已知：菱形ABCD的变长为4，∠ADC=60°，△PEF为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线AC上时（如图1所示），求AE+AF的值；

（2）【类比探究】
在上面的问题中，如果把点P沿DA方向移动，使PD=1，其余条件不变（如图2），你能发现AE+AF的值是多少？请直接写出你的结论；

（3）【拓展迁移】
在原问题中，当点P在线段DA的延长线上，点E在CA的延长线上时（如图3），设AP=m，则线段AE、AF的长与m有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

，

∵四边形ABCD是菱形，

∴PA=PC，

∵∠ADC=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=AD=4，

又∵△PEF为等边三角形，

∴∠ADC=∠EPF=60°，

∴∠APF=∠CPE，

在△APF和△CPE中，

∴△APF≌△CPE，

∴CE=AF，

∴AE+AF=AE+CE=AC=4，

即AE+AF的值是4．

（2）解：如图2，点G是AC上的一点，且满足CG=PD=1，

，

∵CG=PD，AC=AD，

∴AG=AP，

∴ ，

∴GP∥CD，

∴∠GPA=∠CDA=60°，

又∵EPF=60°，

∴∠APF=∠GPE，

在△APF和△GPE中，

∴△APF≌△GPE，

∴GE=AF，

∴AE+AF=AE+GE=AG=AC﹣CG=4﹣1=3，

即AE+AF的值是3

（3）解：如图3，作PH∥CD交CE于点H，

，

由（1），可得△ACD是等边三角形，

∵PH∥CD，

∴△AHP∽△ACD，

∴△AHP是等边三角形，

∴PA=PH，∠APH=∠EPF=60°，

∴∠FPA=∠EPH，

在△APF和△HPE中，

∴△APF≌△HPE，

∴AF=HE，

又∵PA=AH，

∴AE=PA+AF，

∴AE﹣AF=m．

【解析】（1）首先判断出△ACD是等边三角形，即可判断出AC=AD=4；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APF≌△CPE，即可判断出CE=AF，据此求出AE+AF的值是多少即可．（2）首先取AC上的点G，使得CG=PD=1，判断出GP∥CD，即可判断出∠APF=∠GPE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APF≌△GPE，即可判断出GE=AF，据此求出AE+AF的值是多少即可．（3）首先作PH∥CD交CE于点H，判断出△AHP∽△ACD，即可判断出△AHP是等边三角形；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APF≌△HPE，即可判断出AF=HE，再根据PA=AH，可得AE=PA+AF，所以AE﹣AF=m，据此解答即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等，以及对菱形的性质的理解，了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．