Question

【题目】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1，猜想∠QEP=　 　°；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

Answer 1

【答案】（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，证明详见解析；（3）

【解析】

(1)∠QEP=60°；

证明：连接PQ，

∵PC=CQ,且∠PCQ=60°，

则△CQB和△CPA中，

，

∴△CQB≌△CPA(SAS)，

∴∠CQB=∠CPA，

又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，

∴∠QEP=∠QCP=60°.

故答案为：60；

(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例。

证明：如图2，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC,∠ACB=60°，

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，

∴CP=CQ,∠PCQ=60°，

∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，

即∠ACP=∠BCQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴∠APC=∠Q，

∵∠1=∠2，

∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，

与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∵∠DAC=135°,∠ACP=15°，

∴∠APC=30°,∠PCB=45°，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH=CH=AC=×4=，

在Rt△PHC中,PH=CH=，

∴PA=PHAH=-，

∴BQ=