Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5．

【解析】

试题分析：（1）连接OD、DE，求出∠A=∠ADO，求出∠ADO+∠CDB=90°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）求出∠ADE=90°=∠C，推出BC∥DE，得出E为AB中点，推出AE=AB，DE=BC=3，设AD=4a，AE=5a，由勾股定理求出DE=3a=3，求出a=1，求出AE即可．

（1）证明：连接OD、DE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣90°=90°，

∴OD⊥BD，

∵OD是⊙O半径，

∴直线BD与⊙O相切；

（2）解：∵AE是⊙O直径，

∴∠ADE=90°=∠C，

∴BC∥DE，

∴△ADE∽△ACB，

∴=

∵D为AC中点，

∴AD=DC=AC，

∴AE=BE=AB，

DE是△ACB的中位线，

∴AE=AB，DE=BC=×6=3，

设AD=4a，AE=5a，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=3a=3，

解得：a=1，

∴AE=5a=5，

答：⊙O的直径是5．