Question

【题目】如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）求证：DM=DA；

（2）如图②，点G在BE上，且∠BDG=∠C．求证：△DEG∽△ECF；

（3）在（2）的条件下，已知EF=2，CE=3，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质得到∠AMD=∠AFE，等量代换得到∠AMD=∠A，根据等腰三角形的判定定理证明即可；

（2）根据三角形中位线定理得到DE∥AC，根据题意证明∠GDE=∠FEC，根据相似三角形的判定定理证明；

（3）证明△BDG∽△BED，得到BD2=BEBG，根据平行四边形的性质和题意求出BD=2，根据相似三角形的性质计算即可．

（1）证明：∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，

∴△DEG∽△ECF；

（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴=，即BD2=BEBG，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四边形DEFM是平行四边形，

∴EF=DM，

又∵DM=AD，AD=BD，

∴EF=BD=2，

∵BE=CE，EF=2，CE=3，

∴22=3BG，

∴BG=，

∴GE=3﹣=．