Question

【题目】如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－x+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B，

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y= , B(1，0) ;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标；

（2）首先利用待定系数法求一次函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可；

（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．

（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，），

将其代入抛物线解析式得：，解得：，

∴y=，

∵对称轴是x=-1，

∴由对称性得B(1，0)；

（2）延长BC与对称轴的交点就是点P，

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：，

则直线BC解析式为：y=-x+，

当x=-1时，y=2，

∴P(-1, 2)；

（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，理由如下：

∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，

∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，

∵点D是的中点，

∴，

∴∠ACD=∠DCO=30°，

∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，

∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，

∵FG=2，

∴△AFG为等边三角形，

∴∠GAF=60°，

∴∠CAG=30°+60°=90°，

∴AC⊥AG，

∴AG为⊙M的切线．