Question

【题目】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，以D为顶点作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于E，F，且BE2＋CF2＝EF2，求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：延长FD到点M，使DM=DF，连接BM，可证得△CDF≌△BDM，根据全等三角形的性质可得∠DBM＝∠C，BM＝CF，由∠EDF＝90°，MD＝FD，根据线段垂直平分线的性质可得EM＝EF；再由BE2＋CF2＝EF2，可得BE2＋BM2＝EM2，根据勾股定理的逆定理可得△BEM为直角三角形，再证得BM∥AC，由平行线的性质即可证得∠BAC＝90°，结论得证.

试题解析：

证明：延长FD至M，使MD＝FD，连接MB，ME，如图所示，

∵D为BC的中点，∴BD＝DC，又MD＝FD，∠BDM＝∠CDF，

∴△BDM≌△CDF(SAS)，∴∠DBM＝∠C，BM＝CF，

∵∠EDF＝90°，MD＝FD，∴EM＝EF，

∵BE2＋CF2＝EF2，∴BE2＋BM2＝EM2，

即△BEM为直角三角形，且∠EBM＝90°.

由∠DBM＝∠C知，BM∥AC，∴∠BAC＝180°－∠EBM＝90°，

即△ABC为直角三角形．