Question

【题目】一次函数与一次函数的图象的交点的纵坐标为， ．

（1）求的值；

（2）当 时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）联立一次函数解析式，根据交点纵坐标为，可一求得交点横坐标为1，进而得到a +b +c =2，对所给式子进行化简，将a +b +c =2代入即可求出的值；

（2）a + b + c =2,平方化简得a2 + b2 + c2 = 4－2×1 = 2，对所求证的式子进行变形得，(b－a)[1－2(a + b) + (b2 + a2 + ab)] = 0，分类进行讨论即可.

（1）依题意得：，且abc≠0，

由①得：x=1，代入②得：a + b + c =2

a3 + b3 + c3－3abc－2(a2 + b2 + c2) + (a + b + c) = 0

(a + b + c)(a2 + b2 + c2－ab－bc－ca)－2(a2 + b2 + c2) + (a + b + c) = 0

2(a2 + b2 + c2－ab－bc－ca)－2(a2 + b2 + c2) + 2 = 0

ab + bc + ca = 1

（2）(a + b + c)2 = 22 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

a2 + b2 + c2 = 4－2×1 = 2

当 时，要证：，

只需证：b(1－b)2 = a(1－a)2

b(1－b)2－a(1－a)2 = 0

b－a－2(b2－a2) + (b3－a3) = 0

(b－a)[1－2(a + b) + (b2 + a2 + ab)] = 0 (*)

i）当a = b时，(*)式显然成立；

ii）当a≠b时，

∵ a + b + c = 2，a2 + b2 + c2 = 2，ab + bc + ca = 1

∴ a + b = 2－c，a2 + b2 = 2－c2，ab = 1－c(a + b) = 1－c(2－c)

∴ 1－2(a + b) + (b2 + a2 + ab) = 1－2(2－c) + 2－c2 + 1－c(2－c)

= 1－4＋2c＋2－c2＋1－2c＋c2

= 0

∴ (*)式成立．

综上，当 时，均有．