Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，，是轴正半轴上一点，，若与互为相反数．

（1）求的值；

（2）如图2，交轴于，以为边的正方形的对角线交轴于．

①求证：；

②记，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析，②3

【解析】

（1）根据相反数的概念得出方程，求出的值，作AG⊥OB于G，利用含30度角的直角三角形的性质即可求得答案；

（2）①延长AC交y轴于点Q，作AP⊥OA交OB于P，利用“ASA”证得△OAQ△PAB，得到AQ= AB，，QC=2OC，再利用线段的和差即可证明；

②连接QF，利用“SAS”证得△FAQ△FAB，得到，从而证得结论．

（1）∵和互为相反数，

∴，

∴， ，
∴，

如图：作AG⊥OB于G，

∵点A的坐标为(，)，即A (，)，

∴AG=OG=2，

在RtBAG中，∠ABG=30，AG=2，

∴AB=2AG=4，

BG=，

∴BO= OG+ BG=2+，

∴；

（2）①延长AC交轴于点Q，作AP⊥OA交OB于P，如图：

由（1）得AG=OG=2，AG⊥OB，

∴∠AOG=45，

∵AP⊥OA，

∴∠APO=90-∠AOG =45，

∴∠APO=∠AOG=45，

∴AO=AP，∠APB=180-45 =135，

∠AOQ=90+45 =135，

∴∠APB=∠AOQ，

∵AP⊥OA，AC⊥AB，

∴∠OAP=∠CAB=90，

∴∠OAQ+∠CAP =∠PAB+∠CAP =90，

∴∠OAQ=∠PAB，

在△OAQ和△PAB中，

，

∴△OAQ△PAB(ASA)，

∴AQ= AB，，

在RtOQC中，∠OQC=30，

∴QC=2OC，

∵四边形ACDE为正方形，

∴AC=AE，

∴BE=AB-AE=AQ-AC=QC=2OC；

②如图，连接QF，

∵四边形ACDE为正方形，AD为对角线，

∴，

由①得：AQ= AB，，QC=2OC，

∴，

在△FAQ和△FAB中，

，

∴△FAQ△FAB (SAS)，

∴QF=BF，

∴，

∴．