Question

【题目】四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值=_____．

Answer 1

【答案】2+2 ．

【解析】

如图： 由BP⊥CP可知点P在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上，⊙O绕点D旋转90°后为⊙O′，则P点旋转90°后的对应点Q在⊙O′上，所以CO′的延长线与⊙O′的交点是CQ的最大值，过O′作O′E⊥CD延长线于E，通过证明△DEO′≌△DOC可求出DE、EO′的长，根据勾股定理求出CO′的长，进而求出CQ的长即可.

如图：⊙O旋转90°得⊙O′，连接CO′交⊙O′于Q，则CQ即为所求，过O′作O′E⊥CD延长线于E，

∵BP⊥CP，

∴P点在在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上，

∵⊙O′是⊙O旋转90°所得，

∴OD=O′D，

在△DEO′和△CDO中，∠DEO′=∠OCD=90°，∠DO′E=∠ODC，OD=O′D，

∴△DEO′≌△DOC，

∴DE=OC=2，EO′=CD=4，CE=6，

∴CO′= = ，

∴CQ=2+.

故答案为：2+