Question

【题目】如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．

（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；

（2）当t为何值时，∠COD=90°；

（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=8min时，射线OC与OD重合；

（2）当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；

（3）存在，详见解析.

【解析】

（1）当OC与OD重合时，根据角度关系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用题中射线的旋转速度，由角度=时间×旋转速度，列出方程，求解即可得到射线OC与OD重合时的时间t；

（2）当∠COD=90°时，可分为两种情况，当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°；当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出对应的方程，求解即可；

（3）分三种情况来考虑，当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD；当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD；当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.

解：（1）由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，

即当t=8分钟时，射线OC与OD重合；

（2）当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；

当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；

故当t=2或14分钟时，∠COD=90°；

（3）存在.

当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；

当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD，则可得20t-120°=×5t，解得t=分钟；

当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.

故当t=4.8或或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.