【题目】如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是，矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D．

（1）求直线OB的解析式及线段OE的长；

（2）求直线BD的解析式及点E的坐标；

（3）若点P是平面内任意一点，点M是直线BD上的一个动点，过点M作轴，垂足为点N，在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1），OE=4；（2），；（3）存在，点M的坐标为或或或

【解析】

利用待定系数法求出k，再利用勾股定理求出OB，由折叠求出，即可得出结论；

利用勾股定理求出点D坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，最后用三角形的面积公式求出点E的横坐标，即可得出结论；

分两种情况，利用菱形的性质求出点N坐标，进而得出点M的横坐标，代入直线BD解析式中，即可得出结论．

解：设直线OB的解析式为，

将点代入中，得，

，

直线OB的解析式为，

四边形OABC是矩形，且，

，，

，，

根据勾股定理得，，

由折叠知，，

；

设，

，

由折叠知，，，

在中，，

根据勾股定理得，，

，

，

，，

设直线BD的解析式为 ，

，

∴6k`+5=8

∴K`=

直线BD的解析式为，

由知，直线OB的解析式为，

设点，

根据的面积得，，

，

；

由知，，

以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形，

当OE是菱形的边时，，

或，

Ⅰ、当时，

轴，

点M的横坐标为4，

点M是直线BD：上，

，

Ⅱ、当时，

轴，

点M的横坐标为，

点M是直线BD：上，

，

当OE是菱形的对角线时，记对角线的交点为，，

由知，，

，

由知，直线OB的解析式为，

点过直线PN，

直线PN的解析式为，

令，

，

，

，

轴，

点M的横坐标为，

点M是直线BD：上，

，

当ON为对角线时，ON与EP互相平分，

点，

；

即：点M的坐标为或或或

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