Question

【题目】如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）b的值及点D的坐标。
（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；
（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵点A（﹣3，0）在二次函数y=x2+bx﹣的图象上，
∴0=﹣3b﹣，解得b=1，
∴二次函数解析式为y=x2+x﹣=（x+3）（x﹣1），
∴点B（1，0），AB=1﹣（﹣3）=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=4，
∴点D（﹣3，4），
故答案为：1；（﹣3，4）．
（2）直线PE交y轴于点E，如图1，

假设存在点P，使得OE的长为1，设OP=a，则AP=3﹣a，
∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，
∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP，
tan∠ADP==，tan∠EPO==，
∴=，即a2﹣3a+4=0，
△=（﹣3）2﹣4×4=﹣7，无解
故线段AO上不存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1．
（3）假设存在这样的点P，DE交x轴于点M，如图2，

∵△PED是等腰三角形，
∴DP=PE，
∵DP⊥PE，四边形ABCD为正方形
∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，
在△PEO和△DAP中，
，
∴△PEO≌△DAP，
∴PO=DA=4，OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1，
∴点P坐标为（﹣4，0）．
∵DA⊥x轴，
∴DA∥EO，
∴∠ADM=∠OEM（两直线平行，内错角相等），
又∵∠AMD=∠OME（对顶角），
∴△DAM∽EOM，
∴==，
∵OM+MA=OA=3，
∴MA=×3=，
△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为×AD×AM=×4×=．
答：存在这样的点P，点P的坐标为（﹣4，1），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．
【解析】（1）利用点在二次函数图象上，代入即可求得b，将二次函数换成交点式，即能得出B点的坐标，由AD=AB可算出D点坐标；
（2）假设存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一个关于OP长度的一元二次方程，由方程无解可得知不存在这样的点；
（3）利用角和边的关系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面积即是所求．