Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，
PE=y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，

∴sinC= ，

∵PE⊥BC于点E，

∴sinC= = ，

∵PC=x，PE=y，

∴y= x（0＜x＜20）

（2）解：存在点P使△PEF是Rt△，

①如图1，当∠FPE=90°时，四边形PEBF是矩形，BF=PE= x，

四边形APEF是平行四边形，PE=AF= x，

∵BF+AF=AB=10，

∴x=10；

②如图2，当∠PFE=90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，

∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，

平行四边形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x= x，

解得x=16；

③当∠PEF=90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF．

综上所述，当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．

【解析】考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，注意分类思想的运用，综合性较强，难度中等．（1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和矩形的性质，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．