Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连结DE．

（1）若∠BAC＝100°，∠DAE＝40°，则∠CDE＝　 　，此时＝　 　；

（2）若点D在BC边上（点B、C除外）运动，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系并说明理由；

（3）若点D在线段BC的延长线上，点E在线段AC的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出∠BAD与∠CDE的数量关系：　 　；

（4）若点D在线段CB的延长线上（如图③）、点E在直线AC上，∠BAD＝26°，其余条件不变，则∠CDE＝　 　°（友情提醒：可利用图③画图分析）

Answer 1

【答案】（1）30°，2；（2）∠BAD＝2∠CDE；理由见解析；（3）∠BAD＝2∠CDE　；（4）∠CDE＝13或77°

【解析】

（1）根据三角形内角和与三角形外角的性质可得结论；

（2）设∠DAE＝x，∠BAC＝y，同理可得∠BAD与∠CDE的数量关系；

（3）设∠DAE＝x，∠BAC＝y，同理可得∠BAD与∠CDE的数量关系；

（4）分两种情况讨论，同理可计算∠CDE的度数．

解：（1）如图，

∵∠DAE＝40°，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝70°，

∵∠BAC＝100°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣40°＝60°，

∵∠B＝∠C＝40°，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+60°＝100°，

∴∠CDE＝30°，

∴＝2，

故答案为：30°，2；

（2）如图，∠BAD与∠CDE的数量关系是：∠BAD＝2∠CDE；

理由是：设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则∠BAD＝y﹣x，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝，

∵∠B＝∠C＝，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝+y﹣x＝90°+y﹣x，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°+y﹣x﹣＝，

∴∠BAD＝2∠CDE；

（3）如图，∠BAD与∠CDE的数量关系：∠BAD＝2∠CDE，

理由是：设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则∠BAD＝x+y，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝∠E＝，

∵∠B＝，

∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠E+∠CDE，

∴+y＝+∠CDE，

∴∠CDE＝（x+y），

∴∠BAD＝2∠CDE；

故答案为：∠BAD＝2∠CDE；

（4）分两种情况：

①当E在射线CA上时，如图所示，

设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则x+y＝180°﹣26°＝154°，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠AED＝，

∵∠C＝，

△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠AED﹣∠C＝180°﹣﹣＝（x+y）＝＝77°

②当E在射线AC上时，如图所示，

设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则x﹣y＝26°，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠AED＝，

∵∠ACB＝，

△CDE中，∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝﹣＝（x﹣y）＝＝13°，

综上，∠CDE＝13°或77°；

故答案为：13或77．