Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与轴交于点A、B，且AB＝2，抛物线的对称轴为直线x=2；

（1） 求抛物线的函数表达式；

（2） 如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的最小，求此时△APC周长．

（3） 设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，求点D的坐标．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1） y=x2-4x+3；（2） ．（3） D的坐标为：（2，-1）．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．由韦达定理易求b、c的值；

（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．

试题解析：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．

由韦达定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；

（2）连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3），

∴BC=，AC=．

∵点A、B关于对称轴x=2对称，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC．

此时，PB+PC=BC．

∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．

∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=．

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），

当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

故点D的坐标为：（2，-1）．