Question

【题目】如图，已知E、F分别为平行四边形ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：

（1）EM=FN；

（2）EF与MN互相平分．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出∠EAM=∠FCN，AE=CF，由AAS证明△AEM≌△CFN，得出对应边相等即可；

（2）连接EN、FM，求出EM=FN，EM∥FN，得出平行四边形EMFN，根据平行四边形的性质得出即可．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAM=∠FCN，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，

在△AEM和△CFN中，，

∴△AEM≌△CFN（AAS），

∴EM=FN；

（2）连接EN、FM，如图所示：

∵EM⊥AC，FN⊥AC，

∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，

∴EM∥FN，

又∵由（1）得EM=FN，

∴四边形EMFN是平行四边形，

∴EF与MN互相平分．