Question

【题目】已知，如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于经过点C的直线DE，垂足为点D，AC平分∠DAB．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接BC，猜想：∠ECB与∠CAB的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC，如图1所示：

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠ACO=∠DAC，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）

解：如图2所示：∠ECB=∠CAB，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，

∵OC⊥DE，

∴∠ECB+∠BCO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∴∠ECB=∠CAB．

【解析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠ACO=∠DAC，证出AD∥OC，再由已知条件得出OC⊥DE，即可得出直线DE是⊙O的切线；（2）由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，得出∠ECB+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，即可得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．