Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上．

（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB ， 求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函数的表达式为y=

（2）

解：∵A（ ，1），AB⊥x轴于点C，

∴OC= ，AC=1，

由射影定理得OC2=ACBC，可得BC=3，B（ ，﹣3），

S△AOB= × ×4=2 ．

∴S△AOP= S△AOB= ．

设点P的坐标为（m，0），

∴ ×|m|×1= ，

∴|m|=2 ，

∵P是x轴的负半轴上的点，

∴m=﹣2 ，

∴点P的坐标为（﹣2 ，0）

（3）

解：点E在该反比例函数的图象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=2 ，AB=4，

∴sin∠ABO= = = ，

∴∠ABO=30°，

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，

∴BO=BD=2 ，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，

而BD﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣ ，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴点E在该反比例函数的图象上

【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键．（1）将点A（ ，1）代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（ ，﹣3），计算求出S△AOB= × ×4=2 ．则S△AOP= S△AOB= ．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣ ，﹣1），即可求解．
【考点精析】通过灵活运用比例系数k的几何意义，掌握几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积即可以解答此题．