Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC= ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∵OD⊥AB，

∴∠A+∠AEO=90°，

∵DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

∵∠AEO=∠DCE，

∴∠AEO=∠DCE，

∴∠OCE+∠DCE=90°，

∴∠OCF=90°，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O切线．

（2）

解：作DH⊥AC于H，则∠EDH=∠A，

∵DE=DC，

∴EH=HC= EC，

∵⊙O的半径为5，BC= ，

∴AB=10，AC=3 ，

∵△AEO∽△ABC，

∴ = ，

∴AE= = ，

∴EC=AC﹣AE= ，

∴EH= EC= ，

∵∠EDH=∠A，

∴sin∠A=sin∠EDH，

∴ = ，

∴DE= = =

【解析】（1）连接OC，欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°．
　　　　（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得 = 求出AE，EC，再根据sin∠A=sin∠EDH，得到 = ，求出DE即可．本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．