Question

【题目】如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点M从点D向点A以1个单位∕秒的速度运动，同时点N从点D向点C以2个单位∕秒的速度运动，连结BM、BN，当△BMN为等边三角形时，＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接BD，证明△ABM≌△DBN，由此得到AM=DN，据此可求出运动时间为2秒，从而得到MD=2，DN=4．在△MDN中求出MN值，根据等边△面积公式即可求解．

解：连接BD，如图1所示：

若△BMN是等边三角形，则BM=BN，∠MBN=60°．

∴∠DBN+∠MBD=60°．

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，

∴AB=BD，∠ABD=60°．

∴∠ABM+∠MBD=60°，

∴∠ABM=∠DBN．

∴△ABM≌△DBN（SAS）．

∴AM=DN．

设运动时间为t，则6-t=2t，解得t=2．

所以DM=2，DN=4．

如图2，过M点作MH⊥DN，交ND延长线于H点，

∵∠MDN=120°，

∴∠MDH=60°，

∴在Rt△MDH中，HD=MD=1，MH=．

在Rt△MHN中，利用勾股定理可得MN=．
∴等边三角形的边长为．

∴等边三角形BMN的面积=．

故答案为：．